Pandemiyi Modellemek...

Bu yazı dizisinin ilk bölümünde salgınlarda kullanılan modellemelere, bu modellerdeki parametrelere bakacağız. Dizinin ikinci bölümünde de bugünlerde etkileri iyice görülmeye başlayan önlemlerin modelleri nasıl etkilediğini, ikinci, üçüncü dalgaları inceleyeceğiz.

Yıl 1984, yaz ayları. Boğaziçi Bilgisayar Mühendisliği birinci sınıfını yeni bitirmişiz, ardından staj zamanı ve ilk yıl yaz okulu şeklinde uygulanıyor bu. İnşaat mühendisliğindeki arkadaşlar güneşin altında, üstleri çıplak, ellerinde nivo ter dökerken biz sıcaklığı 19 dereceye sabitlenmiş bilgi işlem merkezinde hırka giyiyor ve onlara el sallıyoruz. Ödevler yağıyor, sürekli makine başında program yazıyoruz. Bunlardan biri “Game of Life” (yaşam oyunu), 1970’lerde Scientific American’da yayınlanan bir makale ile programcılık gündemine giriyor. Kapalı bir ortamda virüs tarzı organizmaların çoğalmasını, kaynaklar tükendikçe ya da kendi ürettikleri atıklardan zehirlenip ölmelerini, kaynak buldukça yeniden çoğalmasının simülasyonu ve aslında bize iki boyutlu matrislerle programlamayı öğreten bir ödev. Programın (dijital virüslerimiz için yaşamın) parametreleri ile oynayıp onları en uzun yaşatmaya çalışıyoruz, matrislerde çıkan güzel geometrik şekilleri birbirimize gösteriyoruz. 35 yıl sonra o matristeki kutucuklardan birinin ülkemiz, şehrimiz, mahallemiz, evimiz ya da belki vücudumuz olacağını bilmiyoruz.

 

2020 Ocak ayında daha hiçbir şey belli değildi ama insan matematiği sevince duramıyor, ben bunu nasıl modellerim diye düşünüyor. Başta kendi başıma bazı hesap tabloları ve matematik formüllerle yapmaya çalıştığım hesaplar belli noktalara gelince tıkanıyor. Önümde olan, beklediğimden çok daha fazla değişkene bağlı, kaotik işleyen bir sistem. Bunun aslında süper bilgisayarlar gibi geniş kaynaklar kullanan ve insan davranışlarını modelleyen simülasyonlarla çözmek gerektiğini kısa zamanda anlıyorum, hatta insan davranışlarının ve parametrelerin değişimleri üzerine tahminlerde bulunmak için öğrenen sistemler ve yapay zekanın da faydalı olacağı açık. Daha sonra bu yöne gidenler çıktı, henüz sonuçlarını yayınlamamış olsalar da üzerinde çalışıyorlar. Umarım bilim insanları ve karar mercileri bu tür kaynakları kullanarak veriyorlardır kararlarını, sadece “olsa olsa” seviyesinde, ya da iyimser olalım diyerek tahminler yapmıyorlardır.

Elde kısıtlı kaynaklar olunca dönüp var olan matematik formülasyonlara, modellemelere bakmak gerekti. Ardından Şubat ayında bu konuda makaleler de çıkmaya başladı. Toplumsal dinamiklerin kompleks yapılarından arındırılmış, basitleştirilmiş sistemler aslında bazı tahminler yapmayı sağlayabiliyorlar. Adı üzerinde, tahmin oldukları için sapma ihtimalleri yüksek, ama zaman içinde yeni verilerle test edilerek parametrelerini ayarlamak da mümkün bunların. Öte yandan geçen ayki yazımda da belirttiğim gibi bu parametreler sabit sayılar değiller. Aslında istatistiksel bir dağılım gösteriyorlar, minimum, maksimum, medyan, aritmetik ortalama değerleri var, üstelik dinamikler değişince (karantinalar ve diğer önlemler) bu parametreler de değişiyor.

Matematik modellerde bazı varsayımlar ile tahminler yapmak, en az, en çok ya da muhtemel değerleri bulmak mümkün. Bu yazıda hem bu modellere genel bir bakış atacağız hem de bilinen değerler çerçevesinde –tahminen hata payları yüksek- tahminlerde bulunacağız. Ama sistemleri karmaşıklığından çıkarıp basitleştirmemiz gerekiyor.

İlk hesapları yaptığımda kendime sakladım, epey moral bozucu sonuçları vardı ve bu tür uyarılar yapanlar gözaltına alınıyordu, ama sonra söylem değişti, Bilim Kurulu üyelerinden ve devletin her kademesinden uyarılar geldi, ben de yazıya dökeyim dedim. Bu yazıyı derginin Nisan 2020 sayısına hazırlıyordum ama o dönemde yayınlamak gene de uygun gelmedi, parametreler de değişiyor, önceki tahminleri etkiliyor. Gene de bir yerde durup o anki durumu saptamak gerek... Bilgilerin saydam olmadığı durumda tahmin için kullanılacak modellerin parametrelerini de tahmin ederek maalesef...

1. Değişik yaklaşımlar

Wired dergisinde yayınlanan The Mathematics of Predicting the Course of the Coronavirus (Koronavirüsün Seyrini Tahmin Etmenin Matematiği) adlı yazıda genel bir giriş var. Bu modellerdeki parametreleri bir arada dursun diye aşağıda ayrı bir bölümde veriyorum. Tüm modellerin listesi de Wikipedia’da Compartmental models in epidemiology başlığı altında var.

Basit modellerden biri olan SIR modeli diferansiyel denklemlere dayanıyor. Bu modelde:

• S(t) (susceptible): Virüsü kapabilecek insan sayısının
• I(t) (infected): Virüsü kapmış insan sayısının
• R(t) (recovered/removed): Denklemden çıkmış (iyileşmiş ya da ölmüş) insan sayısının

zamana göre değişen fonksiyonlarını gösteriyor. Bu modeli geliştiren SEIR modeli ise E fonksiyonunu ekliyor.

• E(t) (exposed): Virüse maruz kalmış ama daha hastalanmamış insan sayısı.

Bunun dışında doğal olarak aşağıda açıkladığımız temel çoğalma sayısı R₀ en önemli parametre. Fakat bunun da zamanla değişmesi söz konusu, bu da daha kompleks modellerde efektif çoğalma katsayısının R_t (effective reproduction number)devreye girmesi anlamına geliyor (bunu ikinci yazıda inceleyeceğiz).

Başlarda herkes virüsü kapabiliyor, üstel bir yayılma görülüyor, ama bir yandan da oluşan bağışıklıklar nedeniyle virüs atlayacak yeni yer bulamıyor ve yayılma yavaşlayarak sönümleniyor (önlem alınmayan sürü bağışıklığı / herd immunity yaklaşımının da temeli bu).

Başka bazı modeller eldeki verilerden geriye hesap yapıp ona göre ileriye doğru aslında nerede olduğumuzu hesaplıyorlar. Basitçe söylemek gerekiyorsa şöyle bir mantık silsilesi:

• Bugün bir kişi ölmüşse, sadece 100 kişiden biri ölüyorsa (vaka ölüm oranı) ve virüsün kapılmasından ölüme kadar 24 gün geçiyorsa, 24 gün önce 100 kişi enfektedir.
• Eğer vaka sayısı da başlarda (üstel artış dönemi, toplumsal etkileşimlere hiçbir müdahale yok) üç günde bir iki katına çıkıyorsa (ABD, İtalya gibi örneklerde gerçekten 3 idi başlarda), 24 günde ise sekiz kere katlanır.
• Zaman serisi (gün/kişi olarak) 0/100, 3/200, 6/400, 9/800, 12/1600, 15/3200, 18/6400, 21/12800, 24/25600 diye gider.
• Zaman serisinin her adımında eklenen hastalardan da %1’i 24 gün sonra ölecek diye tahmin edilir.

Bu mantıkla bir hesabı Türkçe anlatı ile şuradaki videodan izleyebilirsiniz. Görüldüğü gibi kaba bir hesap, ama tüm dünyada açıklanan resmi rakamlar sadece test edebildikleri insanları gösterdiği, test ettikleri de genelde sadece ağırlaşarak hastaneye başvuranlar olduğu için salgının çapını tahmin etmek için bir yöntem. Gene de bu yöntem sadece yayılmanın en başındaki tahminler için kullanılabiliyor.

Matematik eğitmeni Grant Sanderson’un benzeri SIR temelli modelleri anlatan videolarını paylaşmak istiyorum (İngilizce bilmeyenler için: video altyazılı olduğu için Youtube’da makine çevirisi ile anlaşılabilir seviyede Türkçe altyazı elde etmek mümkün, bunun için çark işareti ile gösterilen “Ayarlar”dan “Altyazı”yı oradan da Türkçeyi seçebilirsiniz).

Exponential growth and epidemics (üstel büyüme ve salgın hastalıklar): Bu videoda bir lojistik fonksiyonla (logistic function) ile adım adım bir salgının matematik formülasyonu nasıl yapılabilir anlatılıyor (8 Mart).

Simulating an epidemic (Bir salgını benzeştirmek) (videonun Türkçe dublajlı olanı aşağıda veriliyor, İngilizcesi için buraya tıklayın): Bu videoda da bazı salgın parametrelerinin etkileri, karantina, toplu alanların kapatılması, bölgeler arasında hareketin yasaklanması gibi dış müdahalelerin salgın yayılımlarına etkileri gösteriliyor (27 Mart).

Bu videolarda da referans verilen birkaç makale var.

Washington Post’da 14 Mart 2020 tarihinde yayınlanan Harry Stevan’sın makalesi güzel animasyonlarla benzer konuları anlatıyor.

Hemen ardından Kevin Simler kendi sitesinde “Outbreak” adında bir makale ile hem modeli geliştiriyor, hem de animasyonları etkileşimli hale getiriyor 16 Mart’ta.

Bu formülasyon ve simülasyonların (benzetim) hiç biri doğrudan COVID-19 salgını ile ilgili değil, zaten onlar da ben de epidemiyoloji uzmanı değiliz. Amaç olan biteni anlamaya çalışmak ve başkalarının da anlamasına yardımcı olmak.

Bunlara benzer makalelerden biri de Trump “kısıtlamaları bir an önce kaldırmalıyız” deyince (ki ısrarla demeye devam etti) New York Times’da çıktı (“Trump Wants to ‘Reopen America.’ Here’s What Happens if We Do.” – Trump Amerika’yı Yeniden Açmak İstiyor. İşte Açarsak Ne Olacağı Burada.). Buradaki etkileşimli grafikler bu sefer doğrudan COVID-19 ile ilgili ve ABD ya da dünyada düşük/orta/yüksek seviyede müdahale ne sürede yapılırsa ne olacağı konusunda fikir veriyor. Hesaplamalar SEIR modelini kullanıyor ve bireyin virüse maruz kaldıktan sonra bulaşıcı olmadığı dönemi de dikkate alıyor. Sabit parametreler şöyle alınmış: Kuluçka süresi = 5.2 gün, kuluçka döneminde bulaşıcı olma süresi=2.9 gün, hafif vakalarda iyileşme süresi 11.1 gün, ağır vakalarda iyileşme süresi 28.6 gün, ölüme kadar geçen süre 32 gün.

İşte benim tüm dünya nüfusu üzerine “deneylerim”in sonuçları (değiştirilebilir parametrelerden R₀=2.5, vaka ölüm oranı %1, hastaneye yatma oranı %15 aldım):

Grafik-1.1: 1 Nisan’da tüm dünyada 14 günlük orta seviye müdahale edilirse dünyada Kasım ayına kadar 4.8 milyar kişi hastalanacak, tepe noktası 24 Mayıs, 47.6 milyon kişi ölecek.

Grafik-1.2: 1 Nisan’da tüm dünyada 60 günlük yüksek seviye müdahale edilirse dünyada Kasım ayına kadar 4.8 milyar kişi hastalanacak, tepe noktası 10 Ağustos, 44.5 milyon kişi ölecek. 

 

İlk grafikten de görünüyor ki kısa süreli orta seviye bir müdahale neredeyse hiçbir işe yaramıyor, sadece kısa süreliğine bir yavaşlama sağlıyor üstel dönemde.

Sayılarda çok fazla fark yokmuş gibi görünse de aslında ikinci grafik salgınların önemli bir özelliğini gösteriyor. Tam bastırdığını sandığında kuralları kaldırırsan salgın yeniden başlıyor, bunlara ikinci-üçüncü dalgalar deniyor. Aslında ikinci grafikte ilk tepe noktası olsa olsa 100 milyon vaka kadar. Bu şu anda salgını kontrol altına almış ülkelerin en çok korktuğu şey, bu yüzden mesela Çin salgını kontrol alıp sönümlendirdiği anda sınırlarını dışarıdan gelenlere kapadı, ama diğer ülkelerin de yapması beklenen bir şey bu. Bu yapı “biraz kapat, biraz aç” yaptığın her durumda geçerli.

Bu yukarıda anlattığım yayınlardan önce eli ayağı iyice yere basan, ileri derece matematiğe girmeden olguları ve modellemeleri anlatan bazı yazılar çıktı medium.com’da. Stanford’dan bol mühendislik ve işletme masterlı Tomas Pueyo’nun yazıları “Coronavirus: Why You Must Act Now" (Koronavirüs: Neden Şimdi Eyleme Geçmeliyiz) ve “Coronavirus: The Hammer and the Dance” (Koronavirüs: Çekiç ve Dans) son derece zihin açıcıydı. Üstelik beni Gabriel Goh’un açık kaynaklı yazılımı Epidemic Calculator’a ulaştırdı.

Açıkça itiraf edeyim, yıllar öncesinde kalan diferansiyel denklemler beni mahvediyordu (okuduğum kitapları ve makaleleri listeleyerek sizi sıkmak istemiyorum, konu zaten can sıkıcı). Hazırını bulunca atladım üstüne…

Github’da açık kaynak olarak yer alan Epidemic Calculator (Salgın Hesap Makinesi) de SEIR modelinin gelişmiş versiyonunu kullanıyor ve neredeyse bütün parametreleri değiştirilebilir olarak sunuyor. Parametreler zaman içinde sabit kalsa bile tek bir noktada istediğin oranda müdahale edilmesini modelleyebiliyor.

O nedenle bundan sonraki analizlerde bu hesap makinesini kullanacağız.

Bu aracın da eksikleri, kısıtları var tabii ki.

Öncelikle tek noktada ve ani müdahale gerçek dünyadan farklı, çünkü neredeyse tüm ülkeler gerektikçe önlemleri arttırma yoluna gitti. Ama bu araç “what-if” (ya eğer) analizi yapmamızı sağlayabilir, “ya bu önlemler iki hafta önce alınsaydı” gibi… Ya da Türkiye’deki gibi 2 gün kapa 5 gün aç gibi bilimsel açıdan anlamsız yöntemler kullanıldı.

İkinci dert kapalı bir sistem varsayılıyor olması. Yani mesela bir ülkeye ilk başta 1000 virüs taşıyan girdi diyor ve ülkeyi kapalı hale getiriyorsunuz, bir hafta sonra da şu kadar hasta insan geldi diyemiyorsunuz. Ama tüm modellemelerde olan bir sınırlama bu, çünkü başta dediğimiz gibi süper bilgisayarlarımız ve programcı ordumuz yoksa milyonlarca olasılığı işin içine katmak mümkün değil.

Üçüncü dert ise gene tüm modellerin ve karar alıcıların ortak derdi. İster insanlar kendileri uygulasın ister devletler zorunlu kılsınlar, tüm müdahaleler aslında efektif çoğalma katsayısı R_t’nin kaç olacağını belirliyor. Ama kimse mesela şehirlerarası seyahatleri izne bağlarsak bu sayı ne kadar etkilenir kesin bilemiyor, özellikle kaotik insan ve toplum psikolojisi söz konusu olunca. Biz burada “öyle kısıtlamalar getirdik ki R₀’ı %50 düşürdük” diyebiliyoruz, bu da modeli kolaylaştırıyor ve tersinden düşünmemizi sağlıyor. Yani “salgını iki ayda kontrol altına almak için R_t’nin en fazla 0.4 olmasını sağlamam lazım”, sonra iş yönetim kararlarına düşüyor bu düşüşü sağlamak üzere.

Çok önemli bir not: Tüm modellemeler hastalığı geçirenlerde en azından birkaç yıllık bağışıklık oluşacağını varsayıyor. Eğer COVID-19 için böyle bir bağışıklık yoksa vay halimize…

 

 

Ek olarak sürekli gördüğümüz grafik okumaları kolaylaştırmak için temel matematik bilgisinden bir açıklama yapalım. Aşağıdaki grafikte Türkiye’deki resmi değerlere göre “günlük vaka” ve “toplam vaka” sayılarını aynı grafikte gösterdik (değerleri iki ayrı Y ekseninde). Günlük değerler yukarıdaki salgın hesap makinesi çıktısındaki gibi ters parabole benzeyen bir eğri oluşturuyor (mavi), toplam vaka grafiği de (Nisan sonuna doğru tepe noktası görüldü gibi) üstel/doğrusal dönemi aşıp bir lojistik fonksiyonun S şeklindeki yapısına bürünmeye başlamış durumda (koyu kırmızı).

Aslında olay basit: Toplam vaka sayısı günlük vaka sayılarının toplamı, aşağıdaki grafikteki mavi alana eşit (yani integrali). Toplamlar da sonuçta asimptotik olarak bir değere yaklaşacak (yataylaşacak)…

 

2. Bir salgının parametreleri

Hesap makinesi yazılımı İngilizce. Hem bunların Türkçe karşılıklarını da vermek, hem parametreleri tanımak hem de varsayacağımız değerleri belirlemek için bunların üzerinden geçelim:

Görüldüğü gibi parametreler iki gruba ayrılmış, her grup da üç alt gruptan oluşuyor. Soldan sağa doğru gidelim…

Değerleri belirlerken de Wuhan verileri dışında WHO’nun 6 Mart tarihli durum raporundaki verileri,  AB için en güncel verileri (50,569 onaylı vaka) derlemiş olan Avrupa CDC’sinin 24 Mart tarihli raporundaki bilgileri dikkate alalım. Sağlık Bakanımızın (sanırız insanlara olayın olası boyutunu anlatabilmek için açıkladığı) İstanbul’da bir kişi 16 kişiye bulaştırıyor söylemini ise dikkate almayacağız, çünkü bu değer süper yayıcı (super-spreader) dediğimiz kişiler için geçerli olabilir ancak.

Hesap makinesinin açılış anındaki varsayılan değerler WHO ve Çin CDC’sinin 16-24 Şubat tarihleri arasında yaptıkları ortak çalışmanın raporundan alınmış (Report of the WHO-China Joint Mission on Coronavirus Disease 2019 (COVID-19)). Ama biz bunlara ek bazı yorumlar getirecek ve varsayımları değiştirmek isteyeceğiz.

Bulaşma Dinamikleri

• Nüfus ile ilgili veriler
  • Toplam nüfus: Bu yazıda 100,000 kişilik “fiktif” bir kenti ele alacağız.
  • Başlangıçtaki hasta sayısı: Dünya için bunu 1 almak zorundayız (tüm salgın 1 kişiden başladı), diğerlerinde aslında bulaştırıcıların sisteme girişleri sürece yayılı, tek yapabileceğimiz ortalama bir zaman almak, tahmini bir toplam koymak.
• Temel çoğalma katsayısı R₀: En kritik sayımız, bir kişi kaç kişiye bulaştırıyor (müdahale edilene kadar)… Hesap makinesinin altındaki metinlerde değişik yerlere ve çalışmalara göre bunun kaç olduğunu bulabilirsiniz. Genelde Çin verileri ve göreceğiniz gibi son derece değişken, standart sapması çok büyük sayılar var. Biliyoruz ki bu değer toplum dinamiklerine çok bağlı, totaliter rejimin eve kapattığı Çin, bireyselliğin ve yüksek düzey eğitimin/bilincin olduğu İsveç ya da herkesin birbirini öpegeldiği Akdeniz ülkeleri arasında dünya kadar fark var. Bu değer genelde 2.2 - 2.4 arasında alınıyor, ama Türkiye, İtalya ya da ABD gibi ülkeler için 3 olarak alınması hiç yanlış değil, hatta bazı araştırmalar bunu 5’in üzerinde buluyorlar. Biz gene de morali bozmayalım, 3 alalım.
• Bulaşma süreleri
  • Kuluçka süresi: (Virüsün kapıldığı andan ilk semptomun göründüğü ana kadar geçen süre) Wuhan’dan gelen ilk verilerde 5.8 gün, bugünlerde genelde 5.2 gün olarak alınıyor. Ama çok büyük oranda insanın hiç semptom görmeden de hastalığı geçirebildiğini biliyoruz – ki bu virüsü bu kadar tehlikeli hale getiren de bu özelliği.
  • Kuluçka süresi içinde ne kadar süre semptomsuz bulaşıcılık olduğu: Birçok yerde 2.9 gün alınıyor (sanırım Wuhan verilerindeki 5.8 günlük kuluçka süresinin yarısı olarak tahmin söz konusu). Aslında modellerde epey kritik bir değer ama somut bilimsel araştırma sonuçlarında en azından ben bulamadım şimdilik.

Klinik Dinamikler

• Ölüm istatistikleri
  • Vaka ölüm oranı: Ölümle sonuçlanan vaka sayısının toplam vaka sayısına bölümü. Bu değer elde bulunan tüm istatistiklerde hatalı ölçülüyor, çünkü geniş kapsamlı testler yetersiz, sadece ciddi hastalara test yapılınca bu değer yüksek çıkıyor. Güney Kore örneğinde görüldüğü gibi test sayısı hafif geçirenleri de içerdikçe bu oran bire doğru iniyor. Genel kanı ise uzun vadede 1’in biraz altına ineceği, mesela 0.95 olacağı yönünde. Biz 1 olarak alalım.
  • Kuluçka süresi sonundan ölüme kadar süre: Bu süre temel olarak kişiye (yaş, kronik rahatsızlık vb) ve/veya hastanede alınan sağlık hizmetinin kalitesine bağlı. Özellikle de sağlık sisteminin çöktüğü durumlarda kısalabiliyor. WUHAN için 32 gün çıkmış ama dünyaya baktığımızda 21 gün almanın daha doğru olacağını görüyoruz.
• İyileşme Süreleri
  • Hastanede kalma süresi: İyileşenler için olan bu süre WUHAN için 28.6 gün hesaplanmış, biz de 28 alalım.
  • Hafif vakalarda iyileşme süresi: WUHAN için 11.1 çıkmış ama artık klasikleşen evde karantina süresi karşılığı 14 gün almak mantıklı geliyor. Bu süreler aslında sağlık sisteminin dolma oranını modele entegre etmek için gerekiyor, salgının yayılması açısından kritik değiller.
• Bakım istatistikleri
  • Hastaneye yatma oranı: Semptomsuz ya da hafif geçirenlerin oranını bilmiyoruz. Ama hem WUHAN verisi hem de dünyadan gelen veriler (sadece zorunlu kaldıklarına/şüpheli olanlara test yapan bir sistemde) vakaların %20’sinin hastaneye yattığını gösteriyor.
  • Hastaneye yatmadan önce geçen süre: Bu WUHAN için 5 gün olarak hesaplanmış, ama orada olan çok ciddi takip dünya geneline pek uygulanabilir değil, genelde hastaneye gidiş insanların kendi kararı sonucu oluyor. Bu nedenle daha yüksek bir değer mantıklı geliyor: Ortalama 5-6 günde semptom görülmeye başladığında insanlar önce bunun ne olduğunu anlamaya çalışıyorlar, belki bir soğuk algınlığı, mümkünse de virüs kapmamak için hastaneye gitmek istemiyorlar. Ancak birkaç gün sonra gerçek semptomlar ilerleyince gidiyorlar. Bu nedenle 8 gün olarak almak mantıklı görünüyor.

 

Diyeceksiniz ki, Türkiye’deki değerleri neden almıyorsun? Bu değerler pek yok ortalarda maalesef… Bazı TV programlarından Bilim Kurulu üyelerinin bile veriye istedikleri gibi ulaşamadığı gibi bir fikre bile kapıldım. Umarım yanlış bir kanıdır ve benim amatörce yaptıklarımdan öte modellemeler devletin kararlarına girdi oluşturuyordur.

Ölüm istatistikleri ile ilgili önemli iki değer daha var, tartışmalar bunun üzerinden yürüyor (modellerde yeri yok ama belirtmek için en uygun yer burası):

Enfeksiyon ölüm oranı (infection fatality rate): Hastalığı semptomsuz ya da teşhis konulmadan hafif geçirenleri de içeriyor. Dolayısı ile aslında daha doğru bir değer, ama dediğimiz gibi çok geniş halk kitlelerine antikor testi yapmayı gerektiriyor bu (önce işe yarar bir test bulmak lazım tabii). Bu değer tanımı gereği vaka ölüm oranından daha düşük oluyor.

Tüm nüfustaki ölüm oranı (population mortality rate ya da genel olarak mortality rate): Hastalığı kapmış olup olmamasından bağımsız olarak ölüm oranı. Doğal olarak diğerlerinden daha düşük bir sayı bu ve genelde mesela influenza (grip) gibi sürekli dolaşan hastalıklarda yılda kaç kişinin öleceğinin tahmini ya da ölçümü için kullanılıyor. Bu salgın içinse mesela 31 Aralık 2020 tarihinden sonra çıkacak istatistikler üzerinden bunu değerlendirmek mümkün olacak.

Aşağıda da modelin belli bir andaki değerlerini açıklamaları ile vermekteyiz.

3. Uç noktaları hesaplarsak

Bu tür hesaplar, daha Ocak ayında ilk veriler çıktığında olayın boyutlarını anlamak için yaptığım ve olaya fazladan dikkat etmeme neden olan şeyler. Virüsün zaman için tüm ülke / dünya nüfusunu etkileyeceğini düşünerek yaptım hesapları.

3.1 Genel nüfus üzerinde tahmin

İlk kaba hesap… Virüs enfekte olanların %1’ini öldürüyor ve aşı ve bu virüse özel başarılı tedavi çıkana kadar nüfusun %70’i enfekte oldu dersek (bu aynı zamanda tahmini sürü bağışıklığı değeri):

• Dünya nüfusu 7,800 milyon, enfekte olan 5,460 milyon, ölüm 54.6 milyon.
• Türkiye nüfusu (göçmenler dahil yaklaşık) 88 milyon, enfekte olan 61.6 milyon, ölüm 616 bin.
• İstanbul nüfusu (yaklaşık) 16 milyon, enfekte olan 11.2 milyon, ölüm 112 bin.
• Adalar (yaklaşık) 16.000, enfekte olan 11,200, ölüm 112.

3.2 Yaş dağılımı dikkate alınınca

İtalya’dan gördük, başlarda da çok vurgulandı, yaşlı nüfus oranı çok belirleyici. Yaş dağılımına göre ölüm oranlarını veren istatistikler aslında epey yanıltıcı. İlk yayınlanan Wuhan istatistikleri ile diğer ülkeler farklılık gösteriyor. Örneğin İtalya gibi ülkelerde sağlık sistemi çökünce respiratörlerin yaşlılar yerine gençlere takılması söz konusu oldu. Ayrıca 7 Nisan 2020 akşamı Sağlık Bakanlığı’nın yaptığı açıklamalardaki değerler orijinal Wuhan verilerinden önemli oranda farklı, Türkiye’de 65 yaş altı ölümlerin de oldukça yüksek olduğunu görmekteyiz. Zaten 65 yaş üstü evlerine hapis durumda, “evden kaçanlar” ya da Ramazanda, bayramda “el öptürenler” dışında ölüm olasılığı oldukça azaldı. Dolayısı ile önlemsiz ölüm oranlarını vermek için pek kullanılabilir değil bu değerler.

Bir de asıl yukarıda bahsettiğimiz “population mortality” yani tüm nüfustaki ölüm oranını bilmiyoruz. Bildiğimiz nüfusun bir kısmının virüsü kaptığı ve bunların sadece bir kısmının (%15-20) hastaneye giderek test olduğu ve “vaka” istatistiğine girdiği. Fakat hep dediğimiz gibi ülkelerdeki farklı uygulamalar dolayısı ile, filyasyon vb nedeniyle asemptomatik olanlar da bu değerlere karışmış durumda.

Gene de eksik kalmasın, hesaplayalım… Wuhan değerleri şöyleydi:

YAŞ ARALIĞI	ÖLÜM ORANI
80+	14.8%
70-79	8.0%
60-69	3.6%
50-59	1.3%
40-49	0.4%
30-39	0.2%
20-29	0.2%
10-19	0.2%
0-9	-

 

Gene önemli değerleri New York City Health Department (New York Sağlık Müdürlüğü) veriyor. 1 Mayıs tarihli raporda 13.000 ölümün yaşa göre dağılımları var, burada da anlık istatistikler görülüyor. Üstelik tüm veriye github.com üzerinden erişilebiliyor (toplu mezarların kullanıldığı bir yerde yapılabilirken bu ülkede bunu neden yapamadığımızı düşünmeden edemiyor insan)… Bu verideki oranlar ise şöyle:

YAŞ GRUBU	ÖLÜM ORANI
75+	33.66%
65-74	15.66%
45-64	4.80%
18-44	0.88%
0-17	0.16%

 

Hesapları yaparken şu kaba kestirimleri kullanalım gene: Belli bir sürede %70 virüsü kapacak, bunun %20’si de hastalık belirtileri gösterecek, hastaneye gidecek, bunlar arasında da belirtilen oranlarda ölüm olacak.

TÜİK’den alınan 2019 yaş istatistiklerini dikkate alır ve NYC değerleri uygularsak (15-20 yaş aralığını doğrusal dağıttık bu tablolarda):

 

Unutmayalım ki burada uzun vadede aşı ya da spesifik ilaçla sağaltım olmadan süregelecek bir salgının potansiyel sonuçlarını görüyoruz ve çok “olsa olsa” içeren kaba tahminlere dayanıyor, farkındaysanız bir önceki hesabın yarısından az ölümlü vaka çıkıyor, gene de büyük rakamlar. “Olayı atlattık, hadi geçmiş olsun” diyenler için, böyle diyenlere inananlar için, ikinci, üçüncü dalgalar için veriyoruz bu değerleri.

 

3.3 Geçmiş ölüm istatistikleri

Bu istatistikler iki açıdan önemli.

Öncelikle tüm dünyada şu anki krizin etkilerini hafifletmek için söylenen şeylerden biri koronavirüs ölüm sayılarının abartıldığı, istatistiklerdekilerin zaten yaş ya da kronik rahatsızlıkları dolayısı ile ölecek oldukları. Kişisel not olarak şunu eklemem lazım: Bu mantığı anlamakta gerçekten zorluk çekiyorum, durumu ne olursa olsun daha aylarca ya da yıllarca yaşayacak birinin virüs nedeniyle daha erken ölmesi COVID-19 dışı ölüm nedeni gibi ele alınamaz.

İkinci nokta ise zaten tüm dünyada istatistiklerin doğru olmaması olgusu. Test yapılıp pozitif bulunamadan ölen birçok insan var ve klinik olarak COVID-19 oldukları açık olsa da istatistiklere girmiyorlar.

Dolayısı ile bu virüsten gerçekten kaç kişi öldüğünü önümüzdeki yıllarda ortaya çıkacak ölüm istatistiklerinden anlayabileceğiz ancak, ama gene sadece kabaca. Bu nedenle tarihe kayıt düşmek için burada verelim.

Dünya için Dünya Bankası, Türkiye için TÜİK kaynaklarından son yıllardaki değerleri aldık. Burada bin kişide kaç kişinin öldüğünü belirleyen “kaba ölüm hızı”nı dikkate almak nüfus artışından bağımsız bir değer olduğu için daha doğru bir ölçüt.

 

 

4. Şimdi “salgın hesap makinesi” ile dinamikleri anlayalım

Her bir parametrenin dinamikler üzerinde az ya da çok etkisi var. Ama bunun ne kadar olduğunu anlamak için hipotetik bir küme (nüfus) üzerinde uygulayarak yorumlamaya çalışalım… Bu amaçla değerleri belli bir varsayıma göre sabitleyip ardından tek bir değerin bu kapalı sistemi nasıl etkilediğini görmemiz iyi olacak. Zaman eksenini 305 günde sabit tutalım (1 Mart’ta başlayan bir salgının sene sonu itibarı ile durumu).

Bu simülasyonlarda varsayacağımız başlangıç değerleri şöyle (yukarıda gerekçelendirdiğimiz değerler bunlar):

• Toplam nüfus: Sabit – 100,000 kişilik bir kent (ilk virüs girişinden sonra kent dışarıya kapanıyor)
• Başlangıçtaki hasta sayısı: 100 kişi (nüfusun binde biri)
• Temel çoğalma katsayısı R₀: 3
• Kuluçka süresi: 5.2 gün
• Kuluçka süresi içinde ne kadar süre semptomsuz bulaşıcılık olduğu: 2.9 gün
• Vaka ölüm oranı: %1
• Kuluçka süresi sonundan ölüme kadar süre: 21
• Hastanede kalma süresi: 28
• Hafif vakalarda iyileşme süresi: 14
• Hastaneye yatma oranı: %20
• Hastaneye yatmadan önce geçen süre: 8 gün

 

Salgın hesap makinesini aç

 

Yukarıda verilen değerler kullanılarak salgına hiçbir müdahale yapılmadığında çıkan sonuçlar şöyle:

Sonuçlar:

• Salgın 37. günde uç noktaya ulaşılıyor. Bu tarihte 19,762 (%19.76) kişi kuluçka döneminde, 10,316 (%10.32) bulaştırıcı, 3,199 (%3.20) hastanede, 109 ölüm (%0.11) var.
• 59. günde maksimum 9,265 hastane yatağı kullanılıyor (nüfusun %9.29’u, bunun altında kapasite varsa ölümler artar)
• 124. günde toplum içinde artık virüs dolaşmıyor
• 306 günde hala 5,945 (%5.94) kişide bağışıklık yok
• Toplam 941 ölümle sonuçlanan vaka var (%0.94)

Burada verdiğimiz tarzda sonuçları aşağıdaki örneklerde vermeyeceğiz, grafik ve değerler anlatıyor zaten. Sadece sonucun yorumunu yapacağız. Her seferinde değerleri yukarıdaki varsayımlara döndürüp sonraki parametreler ile oynayacağız. Çıkan sonuçları hemen yukarıdaki baz sonuçlarla karşılaştırın. Grafiklere tıklayarak büyütebilirsiniz.

4.1. Başlangıçtaki hasta sayısı ne değiştiriyor?

1, 500 ve 1,000 değerlerini alalım.

 

Sonuç: Pek bir şey fark etmiyor… Sadece sayı küçükse başlarda biraz daha fazla zaman kazandırıyor. 1 kişiden 1000 kişiye çıkması 37 gün sürüyor. Bu kişilerin hemen saptanıp izole edildiği bir sistemde az kişi olması çok iyi tabii.

4.2. Temel çoğalma katsayısı R₀ ne değiştiriyor?

1, 2 ve 5 değerlerini alalım.

 

Bu en önemli parametrenin salgın dinamiklerini temelden değiştireceğini baştan biliyorduk zaten. Yineleyelim: Bu sadece virüse değil, insanların yaşam tarzına da bağlı. Biraz daha detaylı bakalım buna…

R₀=1 demek, virüsü alan kişi bir başkasına aktarıyor, sonra hastalanıp hastaneye yatıyor ve izole ediliyor anlamına geliyor. Bu da grafikte görüldüğü gibi küçük değerlerle de olsa salgını sonsuz bir döngüye sokuyor, virüs sürekli toplumda var olmaya devam ediyor. Bağışıklık sağlanmıyor, sürekli hastanelerde yatan tek tük hastalar oluyor, ölüm de az buna bağlı olarak. Biraz influenzanın (grip) yaz sezonu gibi yani…

R₀=2 alınınca yukarıdaki temel grafiğimize benzer bir grafik ortaya çıkıyor, ama tepe noktalara daha uzun zamanda ulaşılıyor, değerler daha düşük. Sadece 797 ölüm var, en fazla 6,491 yatak doluyor. Bulaşıcılık daha az olduğu için dönem sonunda hala %20 civarında bağışıklık kazanmamış insan var.

R₀=5 insanların birbirine çok bulaştırma yaptığı ortamları ifade ediyor, kalabalık kentler/ortamlar buna örnek. Virüs hızla yayılıyor ve sürü bağışıklığına daha çabuk erişiliyor, süre sonunda bağışıklığı olmayan çok da fazla kişi kalmıyor. Vaka ölüm oranı gibi diğer parametreler aynı kaldığı için ölümlü vaka sayıları pek değişmiyor, ama aynı anda hastanelere yığılma artıyor, bu da sistemin yetersiz kalması sonucu yüksek oranlı ölümler demek.

Aslında bu katsayıyı arttırmak isteyeceğimiz durumlar var. Hala yapılıyor mu bilmiyorum ama çocuk hastalıklarında ebeveynlerin “kızamık partisi” gibi organizasyonları vardı eskiden, çocuk diğer yönlerden sağlıklıyken bulaşı arttırıp bağışıklığı kontrollü olarak sağlamanın iyi bir şey olduğu temelinde yapılırdı.

4.3. Kuluçka süresi, semptomsuz bulaşıcılık süresi ve hastaneye gidene kadar geçen süre…

Kuluçka süresi, semptomsuz bulaşıcılık süresi, hastaneye gidene kadar geçen süre gibi değişkenler aslında tamamen bağımsız değişkenler olamıyor. Tüm modellemeler semptomlar göründüğü zaman insanların hastaneye gidecekleri, orada ya da evde toplumdan izole olacakları ve artık bulaştırma risklerinin kalmayacağı varsayımına dayanıyor. Bu şu anki salgın için (semptomsuz vakalar nedeniyle) tam geçerli değil. Ama bizim hesap makinesinde bu üç değişkeni birlikte ayarlamamız mantıklı.

Şöyle yapalım: (1) Kuluçka süresini değiştirelim, bu süre bitince semptomlar görünsün (2) İnsanlar hastaneye gitmeden 2 gün daha beklesinler (3) Bulaştırabilecekleri süreyi bu bekleme süresine kuluçka süresinin yarısını ekleyerek bulalım.

Bu sonuncunun mantığı şu: Virüs vücuda girdikten sonra çoğalması gerekiyor. Başkalarına bulaşabilmesi için belli bir eşiği aşması gerekiyor. Çin’de bulunan değerler kuluçka süresinin yarısı, bunu bizim “fiktif” salgınımıza uygulayabiliriz…

Bu sürelerdeki oynamalar R₀ değerini de etkiler. İnsanlar virüs saçarak ortalarda dolaştıkça bu sayı da artacaktır. Basit düşünelim, süre ile doğrusal bağlantı kuralım, yani bulaşıcılık süresi yarıya düşünce temel çoğalma katsayısı da yarıya insin… Gerçekte bu bağlantı daha kompleks, insanlar ev-iş arasında hareket ediyorlar, benzer insanlarla karşılaşıyorlar, aynı kişiye de birden fazla kere bulaştıramıyorlar. Ama arada pazara, markete gidiyorlar, hafif semptomatik olup yere tükürebiliyorlar ve bunların hepsi fonksiyonu etkiliyor.

Semptomsuz bulaşıcılık bu yeni koronavirüsün en önemli (ve tehlikeli) özelliği olduğu için bunlara biraz daha detaylı bakalım.

a) Hızlı hastalanma senaryosu (grip örneği ya da düşük immün sistem dolayısı ile çabuk yayılma)

Kuluçka süresi = 2 gün
Semptomsuz bulaşıcılık süresi = 1 gün
Hastaneye gidene kadar geçen süre = 4 gün
Temel çoğalma katsayısı = 1.15

Geçen ayki yazıda da Ebola örneği üzerinden bahsettiğim gibi hızla hasta eden, hareketsiz bırakan ve/veya izole edilen hastalıklar hızla sönümleniyorlar, aynı grafikte görüldüğü gibi, az sayıda hastalanma ve ölüm oluyor.

b) Yavaş hastalanma senaryosu (güçlü immün sistem, hastaneye gitmeme ısrarı, sağlık sistemi pahalı vb)

Kuluçka süresi = 10 gün
Semptomsuz bulaşıcılık süresi = 5 gün
Hastaneye gidene kadar geçen süre = 12 gün
Temel çoğalma katsayısı = 5.77

Grafik şekil olarak da, zaman ekseni açısından da orijinal grafikten pek farklı değil, biraz sağa kayma var sadece. Asıl fark Y ekseninde, bulaş sayısının artması neredeyse tüm popülasyonun virüsü kapmasına neden oluyor.

c) Semptomsuz geçirme (kimse hastaneye de gitmiyor, vaka ölüm oranı da 0)

Kuluçka süresi = 5.2 gün
Semptomsuz bulaşıcılık süresi = 15 gün
Hastaneye gidene kadar geçen süre = -
Temel çoğalma katsayısı = 10
(ek olarak ölüm oranı=0, hastaneye yatma oranı=0)

Eldeki pandemi için en önemli grafik sanırım bu. Virüsü kapanların %30-%50 arasındaki kısmı hiçbir semptom göstermeden geçiriyorlar hastalığı, toplamı %80 yapacak kadarı da hafif semptomlarla atlatıyorlar, hastaneye yatmıyorlar. Hiçbir önlem alınmadan ortada dolaştıkları için de bulaştırmayı sürdürüyorlar, ta ki herkes hastalanana kadar.

Sorun geriye kalan %20’de… Onlar hastalanıyorlar, hastaneye yatıyorlar, %5 kadarı kritik duruma geçiyor ve bir kısmı da ölüyor. Bu rakamları bilmiyoruz ve kapsamlı testler yapılmadıkça da bilemeyeceğiz. Ama yukarıdaki değerler “super-spreader” (süper yayıcı) insanlardan oluşan, kurallara uymayan insanlardan oluşan bir toplumu temsil ediyorlar.

Ama bu son grafiğin bir başka alternatifine daha bakalım, varsayılmayan, resmi verilere göre…

d) Semptomsuz geçirme – alternatif değerler

Kuluçka süresi = 5.2 gün
Semptomsuz bulaşıcılık süresi = 10 gün
Hastaneye gidene kadar geçen süre = -
Temel çoğalma katsayısı = 3
(gene ölüm oranı=0, hastaneye yatma oranı=0)

Görüldüğü gibi bulaşıcılığı azalttık bir öncekine göre, yeni koronavirüse özgü değerleri koyduk. Amacımız zaman eksenine bakmak…

Burada salgın 71. günde tepe değerine ulaşıyor, birkaç gün sonra da bulaşıcı olan insan sayısı tepe yapıyor. Salgın 1 Mart’ta başladı desek, 123 gün sonra (yaklaşık Haziran başı) nüfusun hala %2.5’inde virüs var. Mesela 150.000 kişilik bir şehirde 50.000 kişiye sokağa çıkma yasağı uyguladınız, sonra 1 Haziran’da yasağı kaldırdınız. Bu riskli kişiler bulaştırıcılarla bir araya gelirlerse riskler geçekleşecek. O nedenle her yerde planlanan kademeli geçiş sistemi önemli.

 

4.4. Vaka ölüm oranı ne değiştiriyor?

Aslında ilk yanıt basit, ölenlerin sayısı değişiyor. Test için %0.5, %2.68 (bugün için Türkiye’deki değer) ve %18 (bugün için dünyada toplam kapanan vakalardaki ölümle sonuçlanma oranı) değerlerini alalım.

 

İlk grafikte ölümler 470, ikincisinde 2,521, üçüncüsünde ise 16,930 oluyor. Grafiklerin kavuniçi ve kırmızı bölgeleri aynı kalsa da mavi bölgeleri (hastane yatakları ve ölüm miktarı) değişiyor. Özellikle sonuncusunda ağır hastaların hastanede yaşatılmaya çalışılarak kalma sürelerinin uzaması sağlık sistemine önemli yük bindiriyor.

İyi ki bu son iki grafik gibi değil gerçekler. Aldığımız oranlar yetersiz testler nedeniyle bu kadar yüksek. Ama son grafiği dikkate alarak ek bir hesap daha yapabiliriz: Eğer tüm virüsü kapanların sadece %20’si hastaneye yatacak kadar ağırlaşıyorsa, onların da %16.93’ü ölüyorsa, 100,000 kişilik bir şehirde ölüm sayısı 3,386 olacaktır, yani %3.4 gibi bir ölüm oranından bahsediyoruz.

 

4.5. Diğer değerler ve sağlık sistemimiz üzerine

Diğer değerler temel olarak sağlık sistemi üzerine düşecek yükü hesaplamak için kullanılıyor: Hastanın ne kadar zamanda iyileştiği, ne kadar zamanda öldüğü gibi değerler “hastane yatağı ne zaman boşalacak” sorusu açısından önemli. Bu süreler uzunsa salgının kümülatif etkisi sağlık sisteminin göçmesine neden olabilir.

İlk verdiğimiz temel grafikte 100,000 kişide 9,295 yatak ihtiyacı olduğunu hesaplamıştık, bu da nüfusun %9.3’ünü hastaneye yatıracak kadar yatak gerektiğini gösteriyor. COVID-19 nedeniyle özellikle güncel tutulmaya çalışılan bir liste Wikipedia’da bulunuyor. Sağlık Bakanlığı’nın 2018 yılı istatistiklerine göre (Sağlık İstatistikleri Yıllığı 2018 Haber Bülteni) Türkiye’de:

• Toplam 231,913 hastane yatağı var (~%0.28)
• Nitelikli hastane yatağı sayısı 139,403 (~%0.17)
• Erişkin yoğun bakım yatak sayısı 24,071 (~%0.03)
• Toplam BT cihaz sayısı 1,211
• Yatak doluluğu oranı %68.0

Özetle sürü bağışıklığı gibi bir hedefi karşılamak mümkün olmayacaktı. Olası ikinci, üçüncü dalgalarda ya da yeni bir salgında da olmayacak. Yatak sayısı gerekenin 1/33’ü kadar, kapatılması mümkün olmayan bir oran bu (mantıklı da değil). Dolayısı ile salgının ilacını bulsak bile her türlü diğer önlem elzem.

Daha büyük sorunun yoğun bakım yataklarında çıktığını biliyoruz. Dünya çapındaki vakaların %2-%5 kadarının yoğun bakım gerektirdiğini gördük, hastaneye yatan %20’nin ¼’üne ulaşabiliyor. Yukarıdaki 100,000 kişilik kentteki 9,295 kişinin 2,324’ü bu yataklara gereksinim duyabilir (nüfusun %2.3’ü), var olanın 77 katı…

OurWorldInData sitesinden aldığımız grafiklerle dünyadaki durumu bir inceleyelim:

Grafiğin aslını açmak ve ülke eklemek/çıkarmak için buraya tıklayın...

Görüldüğü gibi özellikle 1980’lerden sonra neo-liberal politikaların sonucu ortaya çıkan özelleştirmeler ve sosyal politikalardan uzaklaşma hastane yatağı sayısında inanılmaz düşüşler yaşanmasına neden oluyor. Nüfusun artmasına, yaşam süresinin uzamasıyla birlikte ortaya çıkan yaşla ilişkili ek hastalıklara ve sorunlara rağmen bu iş hiç de karlı değil. İtalya, İspanya ve Fransa eski düzeyini koruyabilseydi büyük olasılıkla ölümleri azaltabilecekti. En büyük düşüş ise İsveç’te, virüsle savaşmaktan baştan vazgeçmelerinin nedeni de ortada. Başarılı sonuçlar alan Güney Kore, Japonya ve Almanya’ya da dikkatinizi çekmek isterim.

Türkiye’de ise düzenli bir iyileşme görülüyor, zaten en diplerde olduğu için nüfus artışına oranlı bu artış gayet iyi. Son iki yılda açılan şehir hastaneleri ile bu sayı daha da arttı.

Grafiğin aslını açmak ve ülke eklemek/çıkarmak için buraya tıklayın... 

Sonrası…

Salgın dinamiklerini anladık gibi. Bu yazıda kendi başına rahatça dolaşan bir salgının analizini yaptık. Oysa orta çağda bile veba geçirenler (bir şekilde) izole edildiler. Ama dediğimiz gibi efektif çoğalma katsayısını hesaplamak kolay değil. Alınacak bir önlemin sonuçları 10 Nisan’daki gibi ters bile tepebiliyor insan ve toplum psikolojisinin kaypak zemininde.

Bilinmiyor dediğimiz parametreler üzerine de bir dizi araştırma çıkıyor. Üstelik salgın bazı ülkelerde dönüm noktasını geçti gibi… Geriye dönük veri üzerinden etki analizi yapmak bile mümkün olabilir görünüyor. O yüzden “fiktif” bir salgından çıkıp gerçek salgınımızı gerçek veriler üzerinden analiz edebileceğiz. Ama bir sonraki yazıda…